Pangkat Rasional, Bentuk Akar dan Logaritma

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA


A. Bentuk Pangkat

1. Pangkat Bulat Positif

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif.
Notasi eksponen sangat berguna untuk menuliskan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara berurutan .

Misal : 2 x 2 x 2 ditulis 2 berarti 23 = 2 x 2x 2

Definisi :
Jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat lebih dari satu , maka pangkat ke – n dari a ditulis an dan didefinisikan sebagai hasil perkalian n faktor masing-masing a yaitu :

an =

Untuk n = 1 didefinisikan a1 = a.

Keterangan :
an dibaca “ a pangkat n “ disebut bilangan berpangkat.
a disebut bilangan dasar atau bilangan pokok.
n disebut eksponen atau pangkat.

b. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Bilangan Berpangkat Bulat Positif.

Ini untuk latihan...
Dengan menuliskan masing-masing faktornya buktikan bahwa :
1. 34 x 3 2 = 36

2. a5 x a2 = a7

Sifat 1:
Jika a bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif , maka am x an = a …

Bukti :
am x an =
             = a …

Ini untuk latihan...
Dengan menuliskan masing-masing faktornya buktikan bahwa :
1. 56 : 52 = 54

2. a8 : a3 = a5

Sifat 2.

Jika a bilangan real untuk a 0 dengan m dan n bilangan bulat positif ,untuk m > n maka
am : an = a…


Bukti :
am : an =

            = … .

Ini untuk latihan...
Dengan menuliskan masing-masing faktornya ,buktikan bahwa :

1. ( 42)3 = 46

2. ( 94)2 = 98
3. ( a3)4 = a12

Sifat 3.
Jika a bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif ,maka ( am )n = a…
Bukti :
( am )n =

            = a…

Ini untuk latihan...
Dengan menuliskan masing-masing faktornya dan menggunakan hukum komutatif dan hukum
asosiatif ,buktikan bahwa :
1. ( 3 x 5 )4 = 34 x 54
2. 23 x 43 = ( 2 x 4)3
3. ( ab )5 = a5 b5

Sifat 4.
Jika a dan b adalah bilangan real dan m adalah bilangan bulat positif , maka ( ab )m = a… b…

Bukti :
( ab)m =
=
= am x b…
= a… b…

Ini untuk latihan...
Dengan menuliskan masing-masing faktornya ,buktikan bahwa :
1.
2.
3.
Sifat 5.
Jika a dan b adalah bilangan real untuk b 0 dan m bilangan bulat positif , maka


Bukti :

=
=


Latihan yang lain...
Gunakan sifat –sifat berikut :
Jika a dan b adalah bilangan real dengan m dan n adalah bilangan bulat positif maka berlaku
sifat-sifat :

Sifat 1 : am x an = a…
Sifat 2 : am : an = a… untuk m > n dan a 0
Sifat 3 : ( am)n = a…
Sifat 4 : ( ab )m = a… b…
Sifat 5 : untuk b 0

Sederhanakanlah !
1. 34 x 32     6. 77 : 73      11. ( a5)3 16.
2. 86 x 8       7. a10 : a4    12. ( x2)7 17. ( 32 x 35 ) x 34
3. a7 x a2      8. k9 : k5     13. ( 2y )5 18. ( 62 )4 x 65
4. p5 x p8      9. ( 43)2      14. (pq2)6 19. ( 52 )4 : ( 53 )2
5. 26 : 22      10. ( 56)4     15. 20. Apakah benar bahwa 42 x 23 = 85 ? Jika tidak benar , jelaskan mengapa tidak benar ?

c. Pangkat Bulat Negatif dan Pangkat Nol

Pada sifat 2 : am : an = am-n untuk m > n dan a 0.
1. Bagaimana jika m = n .
Kita tahu bahwa = 1 dan 25 = 52
Seandainya sifat 2 berlaku maka :
= = 52- 2 = 50 = 1
Dari kenyataan ini didefinisikan
Contoh :
1. ( 2004)0 = 1 2. = 1 3. (-0,003)0 = 1


2. Bagaimana jika m < n Perhatikan sifat : am : an untuk a 0 Seandainya berlaku untuk m = 0 diperoleh : am : an = a0 : an pada bilangan a0 = 1 untuk a 0 maka a0 : an = 1 : an a0-n = 1 : an a-n = 1 : an a-n = Dari kenyataan ini didefinisikan :
Contoh : 1. 2 -7 = 2. 5 -3 = 3. a -4 = untuk a 0 Latihan 2 Sederhanakanlah kemudian nyatakan ke dalam bentuk pangkat positif . 1. a-7 7. (p-1 + q-1)-1 2. 4b-2 8. (4a3b5)-2 x (8a-2 b3)4 3. (3c)-4 9. 4. (2p3 + 4q2)-2 10. 5. 11. 6. 12.
B. Bentuk Akar
1. Himpunan Bilangan Kita telah mempelajari sistem-sistem bilangan sebagai berikut :
a. Himpunan bilangan asli , dapat dinyatakan A = { 1, 2, 3, … .}
b. Himpunan bilangan cacah ,dapat dinyatakan C = { 0, 1, 2, 3, … .}
c. Himpuanan bilangan bulat , dapat dinyatakan B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
d. Himpunan bilangan rasional dapat dinyatakan Q yang terdiri atas himpunan bilangan bulat dan     himpunan  bilangan pecahan.

Definisi 1 Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan bentuk dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli.
Contoh : Bilangan 7 dapat dinyatakan Bilangan 2,25 dapat dinyatakan Bilangan 5 dapat dinyatakan

Definisi 2 Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal periodik. Contoh : Bilangan dapat dinyatakan 8,000… = 8, Bilangan dapat dinyatakan 0,171717… = 0, Bilangan dapat dinyatakan 0,213213… = 0, e.
Himpunan bilangan real dapat dinyatakan R yang terdiri atas himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional .
Jadi bilangan irrasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional. •
Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan bentuk dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli. •
Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan decimal periodik.
Contoh : 1. = 1,414213562… .
              2. = 1,732050808… .
              3. = 2,236067977… .
              4. = 3,141592654… .
               5. e = 2,718281828… .

2. Bentuk Akar Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar seperti , , disebut bentuk akar. Namun bilangan yang menggunakan tanda akar tetapi bukan bilangan irasional,seperti , , , , sehingga bentuk akar dapat dinyatakan sebagai berikut : Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang bukan merupakan bilangan rasional. Tugas Dari bilangan –bilangan di bawah ini manakah yang merupakan bentuk akar ? Jika bukan bentuk akar ,tentukan nilainya seperti = 2. 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 14. 5. 10. 15. 3. Menyederhanakan Bentuk Akar Teorema . Jika panjang p dan q bilangan non negatif maka Bukti . Misalkan p dan q bilangan rasional non negatif maka : = = = p x q Jika kedua ruas persamaan diambil akarnya,diperoleh : atau Tugas 1 Sederhanakanlah Jawab Tugas 2 Sederhanakanlah Jawab Tugas 3 Sederhanakanlah Jawab Latihan 1. Sederhanakanlah bentuk akar berikut : a. b. c. d. e. f. 3 g. 2 h. 6 i. 9 f. 10 2. Diketahui segitiga ABC siku – siku di C. Jika a, b, dan c berturut – turut menyatakan panjang BC, AC, dan AB, hitunglah panjang sisi ketiga dan nyatakan dalam bentuk akar yang paling sederhana. a. a = 3 dan b = 6 b. a = 4 dan b = 4 c. a = 6 dan b = 8 d. a = 10 dan b = 12 e. b = 12 dan c = 18 f. b = 4 dan c = 8 4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat disederhanakan apabila suku-sukunya sejenis. Misal : 1) m + n = (m + n) 2) m – n = (m – n) Tugas 1 Sederhanakanlah 4 Jawab: 4 = (4 + 3) Tugas 2 Sederhanakanlah 6 Jawab: 6 = (6 – 2) Tugas 3 Sederhanakanlah 5 Jawab : 5 . 2 = (10 + … - …) = … Latihan Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut : 1. 7 6. 2. 6 7. 5 3. 8. 19 4. 3 9. 4 5. 10. 5 b. Perkalian Bentuk Akar Sifat-sifat yang mungkin diperlukan untuk menyederhanakan perkalian bentuk akar anatara lain: 1). 2). 3). a(b + c) = ab + ac 4). a(b - c) = ab – ac 5). (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6). (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 7). (a + b)(a – b) = a2 – b2 Tugas 1 Sederhanakan Jawab : Cara 1 Cara 2 = = … x … = = … = = = Latihan 1. Sederhanakanlah : a. f. b. g. c. h. d. i. e. j. 2. Jika p = dan g = sederhanakanlah : a. 3p + 3q d. p2 + q2 b. 4p – 4q e. p2 - q2 c. 6pq f. 2p2 + 3q2 3. Jika a = 4 + 3 dan b = 4 - 3 sederhanakanlah : a. 4a + 4b d. a2 + b2 b. 3a – 3b e. a2 – b2 c. 5ab f. 3a2 – 3b2 4. Suatu persegi panjang mempunyai panjang = (5 + 2 ) cm dan lebar = (5 - 2 ) cm. Hitunglah : a. luas persegi panjang b. diagonal persegi panjang (nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana) 5. Akar Suatu Bentuk Akar Menentukan akar suatu bentuk akar. Perhatikan bahwa : ( ( Jika kedua ruas persamaan diambil akarnya diperoleh : atau Dengan cara yang sama tunjukkan bahwa untuk a > b


Ini untuk latihan... Sederhanakanlah
Jawab :
=
=

Ini untuk latihan... Sederhanakanlah
Jawab :
=
=

Ini untuk latihan...
Sederhankalah
Jawab :
=
=
=
=
=



Ini untuk latihan... Sederhanakanlah
Jawab :
=
=

Latihan
Sederhanakanlah :
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.


6. Merasionalkan Penyebut Pecahan
a. Merasionalkan Penyebut Pecahan Berbentuk
Ini untuk latihan...
Tanpa menggunakan kalkulator hitunglah teliti sampai 3 angka di belakang koma dengan mengambil1,4142 sebagai pendekatan untuk .

Jawab :
Menggunakan sifat bahwa x = 2
= x
=
= …
= … x …
= …
Catatan .
Perubahan menjadi disebut merasionalkan penyebut suatu pecahan.

Ini untuk latihan... Nyatakan tiap pecahan di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut rasional.
1. 2.









Jawab :
1.

Cara 1 Cara 2
= x =
= = x
= =

. =
2.
Cara 1 Cara 2
= =
= x =
= = x
= =

Latihan
1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan di bawah ini .
Gunakan 1,414 sebagai pendekatan ,
1,732 sebagai pendekatan , dan
2,236 sebagai pendekatan .
Hitunglah tiap jawaban teliti sampai 2 angka di belakang koma.
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.

2. Nyatakan tiap pecahan di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut rasional.
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.
b. Merasionalkan Penyebut Pecahan berbentuk dan .
Jika a dan b bilangan rasional , maka :
(a + = a2 – b
( = a – b2
( = a – b

Hasil dari perkalian-perkalian tersebut semua rasional



Sifat bentuk sekawan ini dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut pecahan berbentuk
dan

Tugas 1
Tentukan bentuk yang sekawan dengan bentuk –bentuk di bawah ini kemudian tentukan pula hasil perkalian pasangan – pasangan bentuk – bentuk yang sekawan itu.
1. + 1 4. 5 -
2. - 3 5.
3. 4 + 6. -

Jawab :
1. + 1 bentuk sekawannya adalah – 1
( + 1) x ( –1) = … – …
= …
2. - 3 bentuk sekawannya adalah … + …
( – 3) x ( … + … ) = … – …
= ….
3. 4 + bentuk sekawannya adalah … – …
(4 + ) x ( … – … ) = … – …
= …
4. 5 – bentuk sekawannya adalah … – …
(5 – ) x ( … – … ) = … – …
= …
5. bentuk sekawannya adalah … –- …
( )x ( … – … ) = … – …
= …
6. – bentuk sekawannya adalah … – …
( – ) x ( … – … ) = … – …
= …







Ini untuk latihan...
Sederhanakanlah pecahan-pecahan di bawah ini dengan merasionalkan penyebut-penyebutnya !
1. 2. 3.

Jawab :
1. = x
=
=






2. = x
=
=
3. = x
=
=

Latihan
1. Tentukan bentuk yang sekawan dengan bentuk-bentuk di bawah ini ,kemudian tentukan pula hasil perkalian pasangan-pasangan bentuk itu .
a. b. c. d. e.
2. Sederhanakalah pecahan-pecahan di bawah ini dengan jalan merasionalkan penyebutnya .
a. b. c. d. e.
3. Diketahui p = 5 + 3 dan q = 5 - 3 , hitunglah dan nyatakan hasilnya dalam bentuk yang paling
sederhana.
a. b. c. d.

7. Pangkat Rasional
a. Untuk a dan b bilangan real dan n bilangan asli lebih dari satu dapat dinyatakan :
Jika an = b maka = atau a = .
(i) Untuk b 0 maka 0
misal : = = 2
(ii) Untuk b < 0 dan n bilangan asli ganjil maka < 0 .
misal : = - 3
(iii) Untuk b < 0 dan n bilangan asli genap maka tidak didefinisikan
misal : ( tidak didefinisikan )
b. Untuk n 2 dan n bilangan asli maka
misal : 1). = 2
2). = - 3
Mengingat bahwa :
x m = m x maka untuk setiap a bilangan real , m bilangan bulat dan n bilangan asli lebih dari 1 diperoleh : dan
Jadi

Tugas
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat .
a). b). c.

Jawab :
a). =
b). =
c). =

2. Nyatakan dalam bentuk akar :
a). b. c.

Jawab :
a). =
b). =
c). =

c. Sifat – Sifat yang Berlaku pada Bilangan Berpangkat Rasional

Sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif berlaku juga pada bilangan berpangkat
rasional.
Untuk m, n, Q dan a 0 berlaku sifat – sifat sebagai berikut :
1. am x an = a …
2. am : an = a …
3. (am)n = a …
4. (ab)n = a … b …
5.
6. a0 = …
7. a-n =
8.

Tugas
Sederhanakanlah :
1. 2.

Jawab :
1. = = = … .
Cara lain :
= = … .
2. = = = … .
Cara lain :
= = … .

Latihan
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.

2. Nyatakan dalam bentuk akar :
a. d. g.
b. e. h.
c. f. i.

3. Sederhanakanlah !
a. e. i.
b. f. j.
c. g. k.
d. h.
4. Hitunglah nilai dari bentuk di bawah ini :
a. Diketahui a = 16 dan b = 27, tentukan nilai dari .
b. Diketahui p = , q = 81 dan r = 25 tentukan nilai dari .